בגרות חורף 2026 · שאלה 6 – גופים במרחב: קרטון חלב בצורת תיבה וכוסות בצורת גליל3 יחידות 372 · שיעור 43
📄 נוסח השאלה
דני קנה ביום א' קרטון חלב בצורת תיבה שבסיסה ריבוע. גובה הקרטון הוא 24 ס"מ, ואורך צלע הבסיס שלו הוא 6.5 ס"מ (ראו סרטוט).
א. מצאו את הנפח של קרטון החלב.
לדני יש 7 כוסות שתייה זהות בצורת גליל. רדיוס הבסיס של כל כוס הוא 3 ס"מ, ושטח המעטפת שלה הוא 48π סמ"ר.
ב. (1) מצאו את גובה הכוס.
(2) מצאו את נפח הכוס.
📄 נוסח השאלה · המשך
דני החליט לכבד את חבריו בחלב שקנה. הוא רוצה למזוג לכל אחת מ־7 הכוסות שלו חלב בנפח ששווה ל־85% מנפח הכוס.
ג. האם כמות החלב שבקרטון תספיק כדי למלא 85% מן הנפח של 7 הכוסות? נמקו את תשובתכם.
📄 נוסח השאלה · המשך
ביום ב' קנה דני קרטון חלב גדול יותר מזה שקנה ביום א'. גם קרטון זה הוא בצורת תיבה שבסיסה ריבוע, וגובהו 24 ס"מ. נתון כי הנפח של קרטון זה הוא 1,500 סמ"ק.
ד. מצאו את אורך צלע הבסיס של קרטון החלב שקנה דני ביום ב'.
סעיף א – נפח הקרטון
הבסיס ריבוע שצלעו 6.5 ס"מ, והגובה 24 ס"מ:
📐 נוסחה: נפח תיבה שבסיסה ריבוע
V = a2 · h
נציב a = 6.5 , h = 24:
V = 6.52 · 24
V = 42.25 · 24 = 1014
✅ פתרון סופי: 1014 סמ"ק
📐 נוסחה: נפח תיבה שבסיסה ריבוע
V = a2 · h
סעיף ב (1) – גובה הכוס
שטח המעטפת נתון, 48π, והרדיוס 3. נציב:
📐 נוסחה: שטח מעטפת של גליל
2π · r · h = M
נציב r = 3 , M = 48π:
2π · 3 · h = 48π
6π · h = 48π
נחלק את שני האגפים ב־6π:
📐 נוסחה: שטח מעטפת של גליל
M = 2π · r · h
סעיף ב (1) – גובה הכוס · המשך
נחלק את שני האגפים ב־6π:
h = 8
✅ פתרון סופי: גובה הכוס 8 ס"מ
סעיף ב (2) – נפח הכוס
רדיוס 3 ס"מ וגובה 8 ס"מ:
📐 נוסחה: נפח גליל
V = π · r2 · h
נציב r = 3 , h = 8:
V = π · 32 · 8
V = 72π ≈ 226.2
✅ פתרון סופי: 72π ≈ 226.2 סמ"ק
📐 נוסחה: נפח גליל
V = π · r2 · h
סעיף ג – האם החלב יספיק?
כמות החלב לכוס אחת היא 85% מנפח הכוס:
📐 כלל: אחוז מכמות
החלב בכוס = האחוז · נפח הכוס
נציב האחוז = 85% = 0.85 , נפח הכוס = 72π:
0.85 · 72π ≈ 192.3
לשבע כוסות:
7 · 0.85 · 72π ≈ 1345.9
📐 כלל: אחוז מכמות
כדי לחשב p אחוז מכמות, מכפילים את הכמות ב־p100
סעיף ג – האם החלב יספיק? · המשך
7 · 0.85 · 72π ≈ 1345.9
בקרטון יש 1014 סמ"ק (סעיף א), וזה פחות מ־1345.9:
1014 < 1345.9
✅ פתרון סופי: לא, החלב לא יספיק (צריך בערך 1345.9 סמ"ק, ויש 1014 סמ"ק)
סעיף ד – צלע הבסיס של הקרטון של יום ב'
נסמן את צלע הבסיס ב־a. הנפח 1500 והגובה 24:
📐 נוסחה: נפח תיבה שבסיסה ריבוע
a2 · h = V
נציב V = 1500 , h = 24:
a2 · 24 = 1500
a2 = 150024 = 62.5
צלע היא אורך חיובי, ולכן ניקח את השורש החיובי:
📐 נוסחה: נפח תיבה שבסיסה ריבוע
V = a2 · h
סעיף ד – צלע הבסיס של הקרטון של יום ב' · המשך
צלע היא אורך חיובי, ולכן ניקח את השורש החיובי:
a = √62.5 ≈ 7.9
✅ פתרון סופי: אורך צלע הבסיס בערך 7.9 ס"מ
📌 סיכום התשובות
א
1014 סמ"ק
ב (1)
8 ס"מ
ב (2)
72π ≈ 226.2 סמ"ק
ג
לא
ד
≈ 7.9 ס"מ
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא